PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL

 Nabila Nurul Alifah_X MIPA 1_17

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL

Persamaan rasional adalah pecahan dengan satu atau lebih variabel pada bagian pembilang atau penyebut. Persamaan rasional adalah pecahan apapun yang melibatkan setidaknya satu persamaan rasional. Seperti persamaan aljabar biasa, persamaan rasional diselesaikan dengan melakukan operasi yang sama terhadap dua sisi persamaan hingga variabelnya dapat dipindahkan ke salah satu sisi persamaan. Dua teknik khusus, perkalian silang dan mencari penyebut terkecil yang sama, adalah cara yang sangat berguna untuk memindahkan variabel dan menyelesaikan persamaan rasional.

Metode1

Perkalian Silang

1. 
   1
   Jika dibutuhkan, susunlah persamaanmu untuk mendapatkan satu pecahan di salah satu sisi persamaan. Perkalian silang merupakan cara yang cepat dan mudah untuk menyelesaikan persamaan rasional. Sayangnya, cara ini hanya dapat digunakan untuk persamaan rasional yang mengandung setidaknya satu persamaan atau pecahan rasional di setiap sisi persamaan. Jika persamaanmu tidak sesuai dengan syarat perkalian silang ini, kamu mungkin harus menggunakan operasi aljabar untuk memindahkan bagian-bagiannya ke tempat yang tepat.

   • Misalnya, persamaan (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 dapat dengan mudah disusun menjadi bentuk perkalian silang dengan menambahkan x/(-2) ke kedua sisi persamaan, sehingga menjadi (x + 3)/4 = x/(-2).
     • Perhatikan bahwa angka desimal dan cacah dapat dijadikan pecahan dengan memberikan penyebut 1. (x + 3)/4 – 2,5 = 5, misalnya, dapat ditulis ulang menjadi (x + 3)/4 = 7,5/1, membuatnya memenuhi syarat perkalian silang.
   • Beberapa persamaan rasional tidak dapat dengan mudah disederhanakan menjadi bentuk yang memiliki satu pecahan atau persamaan rasional di setiap sisinya. Dalam kasus seperti ini, gunakan pendekatan penyebut terkecil yang sama.
2. 
   2
   Kalikan silang. Kalikan silang berarti mengalikan salah satu pembilang pecahan dengan penyebut pecahan yang lain dan sebaliknya. Kalikan pembilang pecahan di kiri dengan penyebut pecahan di kanan. Ulangi dengan pembilang pecahan kanan dengan penyebut pecahan kiri.

   • Perkalian silang bekerja sesuai dengan prinsip aljabar dasar. Persamaan rasional dan pecahan lainnya dapat dibuat menjadi bukan pecahan dengan mengalikannya dengan penyebutnya. Perkalian silang pada dasarnya merupakan cara cepat untuk mengalikan kedua sisi persamaan dengan kedua penyebutnya. Tidak percaya? Cobalah – kamu akan mendapatkan hasil yang sama setelah menyederhanakannya.
3. 
   3
   Buatlah kedua hasil perkalian setara satu sama lain. Setelah mengalikan silang, kamu akan mendapatkan dua hasil perkalian. Buatlah keduanya setara satu sama lain dan sederhanakan untuk membuat persamaan sesederhana mungkin.

   • Misalnya, jika persamaan rasional awalmu adalah (x+3)/4 = x/(-2), setelah mengalikan silang, persamaan barumu menjadi -2(x+3) = 4x. Jika kamu menginginkannya, kamu juga bisa menulisnya sebagai -2x - 6 = 4x.
4. 
   4
   Temukan nilai variabelmu. Gunakan operasi aljabar untuk mencari nilai variabel persamaanmu. Ingat bahwa, jika x muncul di kedua sisi persamaan, kamu harus menambahkan atau mengurangkan x dari kedua sisi persamaan untuk menyisakan x pada salah satu sisi persamaan saja.

   • Dalam contoh kita, kita bisa membagi kedua sisi persamaan dengan -2, menjadi x+3 = -2x. Mengurangkan x dari kedua sisi menghasilkan 3 = -3x. Akhirnya, dengan membagi kedua sisi dengan -3, hasilnya menjadi -1 = x, yang bisa ditulis sebagai x = -1. Kita sudah menemukan nilai x, menyelesaikan persamaan rasional kita.

Metode2

Mencari Penyebut Terkecil yang Sama

1. 
   1
   Ketahui waktu yang tepat untuk menggunakan penyebut terkecil yang sama. Penyebut terkecil yang sama dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan rasional, membuatnya dapat dicari nilai variabelnya. Mencari penyebut terkecil yang sama merupakan ide yang bagus jika persamaan rasionalmu tidak dapat dituliskan dengan mudah dalam bentuk satu pecahan (dan hanya satu pecahan) pada setiap sisi persamaannya. Untuk menyelesaikan persamaan rasional dengan tiga bagian atau lebih, penyebut terkecil yang sama sangatlah membantu. Akan tetapi, untuk menyelesaikan persamaan rasional hanya dengan dua bagian, lebih cepat untuk menggunakan perkalian silang.
   
   
2. 
   2
   Periksa penyebut setiap pecahan. Identifikasi angka terkecil yang dapat dibagi setiap penyebut dan menghasilkan angka bulat. Angka ini adalah penyebut terkecil yang sama untuk persamaanmu.

   • Terkadang penyebut terkecil yang sama – adalah, angka terkecil yang memiliki semua faktor penyebutnya – sehingga jelas terlihat. Misalnya, jika persamaanmu adalah x/3 + 1/2 = (3x+1)/6, tidak sulit untuk melihat angka terkecil yang memiliki faktor 3, 2, dan 6, yaitu angka 6.
   • Akan tetapi, seringkali, penyebut terkecil yang sama dari suatu persamaan rasional tidaklah jelas terlihat. Dalam kasus seperti ini, cobalah memeriksa kelipatan dari penyebut yang besar hingga kamu menemukan satu angka yang memiliki faktor semua penyebut yang lebih kecil lainnya. Seringkali, penyebut terkecil yang sama adalah hasil perkalian dari dua penyebut. Misalnya, dalam persamaan x/8 + 2/6 = (x-3)/9, penyebut terkecil yang sama adalah 8*9 = 72.
   • Jika satu atau lebih penyebut pecahanmu memiliki variabel, proses ini lebih sulit, tetapi mungkin untuk dikerjakan. Dalam kasus seperti ini, penyebut terkecil yang sama adalah persamaan (dengan variabel) yang dapat dibagi dengan semua penyebut lainnya. Misalnya dalam persamaan 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), penyebut terkecil yang sama adalah 3x(x-1) karena setiap penyebut dapat membaginya – membaginya dengan (x-1) menghasilkan 3x, membaginya dengan 3x menghasilkan (x-1), dan membaginya dengan x menghasilkan 3(x-1).
   
   
3. 
   3
   Kalikan setiap pecahan dalam persamaan rasional dengan 1. Mengalikan setiap bagian dengan 1 terlihat percuma. Tetapi inilah triknya. 1 bisa didefinisikan sebagai angka berapapun yang sama pada pembilang dan penyebut, seperti, -2/2 dan 3/3, yang merupakan cara yang benar untuk menuliskan angka 1. Cara ini mengambil keuntungan dari definisi altenatif tersebut. Kalikan setiap pecahan dalam persamaan rasionalmu dengan 1, dengan menuliskan angka 1 yang jika dikalikan dengan penyebutnya akan menghasilkan penyebut terkecil yang sama.

   • Dalam contoh dasar kita, kita akan mengalikan x/3 dengan 2/2 untuk mendapatkan 2x/6 dan mengalikan 1/2 dengan 3/3 untuk mendapatkan 3/6. 2x + 1/6 sudah memiliki penyebut terkecil yang sama, yaitu 6, sehingga kita bisa mengalikannya dengan 1/1 atau membiarkannya saja.
   • Dalam contoh kita dengan variabel pada bagian penyebut pecahan, prosesnya sedikit lebih rumit. Karena penyebut terkecil kita adalah 3x(x-1), kita mengalikan setiap persamaan rasional dengan sesuatu yang akan menghasilkan 3x(x-1). Kita akan mengalikan 5/(x-1) dengan (3x)/(3x) yang menghasilkan 5(3x)/(3x)(x-1), kalikan 1/x dengan 3(x-1)/3(x-1) yang menghasilkan 3(x-1)/3x(x-1), dan mengalikan 2/(3x) dengan (x-1)/(x-1) yang menghasilkan 2(x-1)/3x(x-1).
4. 
   4
   Sederhanakan dan carilah nilai x. Sekarang, karena setiap bagian dari persamaan rasionalmu memiliki penyebut yang sama, kamu bisa menghilangkan penyebut dari persamaanmu dan menyelesaikan pembilangnya. Kalikan kedua sisi persamaan untuk mendapatkan nilai pembilang. Kemudian, gunakan operasi aljabar untuk mencari nilai x (atau variabel apapun yang ingin kamu selesaikan) di salah satu sisi persamaan.

   • Dalam contoh dasar kita, setelah mengalikan semua bagian dengan bentuk alternatif 1, kita mendapatkan 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6. Dua pecahan dapat ditambahkan jika memiliki penyebut yang sama, jadi kita bisa menyederhanakan persamaan ini menjadi (2x+3)/6 = (3x+1)/6 tanpa mengubah nilainya. Kalikan kedua sisi dengan angka 6 untuk menghilangkan penyebutnya, sehingga hasilnya menjadi 2x+3 = 3x+1. Kurangkan 1 dari kedua sisi untuk mendapatkan 2x+2 = 3x, dan kurangkan 2x dari kedua sisi untuk mendapatkan 2 = x, yang dapat ditulis sebagai x = 2.
   • Dalam contoh kita dengan variabel pada bagian penyebut, persamaan kita setelah dikalikan dengan 1 menjadi 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Mengalikan semua bagian dengan penyebut terkecil yang sama, memungkinkan kita untuk menghilangkan penyebutnya, menjadi 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1). Hal ini juga berlaku untuk 5x = 3x - 3 + 2x -2, yang disederhanakan menjadi 15x = x - 5. Mengurangkan x dari kedua sisi menghasilkan 14x = -5, yang, pada akhirnya, disederhanakan menjadi x = -5/14.

   
   
5. PERTIDAKSAMAAN RASIONAL
6. Pertidaksamaan rasional adalah  pertidaksamaan yang berbentuk pecahan dengan pembilang dan penyebut memuat variabel atau hanya penyebutnya saja yang memuat variabel. Berikut ini beberapa contoh pertidaksamaan rasional.

   
   

   2x−1x+3≥0${\displaystyle \frac{2x-1}{x+3}\ge 0}$

   
   

   x2−1x+7≤5${\displaystyle \frac{x^2-1}{x+7}\le 5}$

   
   

   52x−1>x+1x−5${\displaystyle \frac{5}{2x-1}>\frac{x+1}{x-5}}$

   
   

   Di atas, ada 3 contoh pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan dengan bentuk yang berbeda. Namun, bagaimanapun bentuknya, pertidaksamaan rasional selalu dapat diubah sehingga menjadi salah satu dari bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:

   
   

   f(x)g(x)<0${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}<0}$ atau f(x)g(x)≤0${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\le 0}$

   
   

   f(x)g(x)>0${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}>0}$ atau f(x)g(x)≥0${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\ge 0}$

   
   

   Dengan f(x)$f(x)$ sebagai fungsi pembilang dan g(x)$g(x)$ sebagai fungsi penyebut dan g(x)≠0$g(x)\ne 0$.

   
   

   Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional?

   ---

   
   

   Berikut ini beberapa langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan:
   
   
   

   Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:
   
   Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
    Jika fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
    Cari titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebut
    Gambar pada garis bilangan
    Lakukan pengujian daerah yang dibatasi titik kritis pada garis bilangan
    Tentukan himpunan penyelesaian

   
   

   Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh bernilai nol, dengan demikian saat menggambar garis bilangan, titik kritis yang diperoleh dari penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong, artinya titik tersebut tidak termasuk penyelesaian meskipun tanda pertidaksamaan pada soal memuat tanda sama dengan (≤$\le$ atau ≥$\ge$).
   
   Contoh Soal dan Penyelesaian
   
7. Untuk lebih memahami cara menyelesaiakan pertidaksamaan rasional, perhatikan contoh soal dan pembahasan berikut ini.
   
   Soal pertama yang akan kita selesaiakan adalah pertidaksamaan rasional berikut:
   

   
   

   5x−20x−5≤3${\displaystyle \frac{5x-20}{x-5}\le 3}$

   
   

   Langkah pertama, kita perlu menjadikan ruas kanan pada pertidaksamaan menjadi nol, yaitu dengan dengan mengurangi kedua ruas dengan 3$3$, kemudian sederhanakan bentuk pada ruas kiri dengan menyamakan penyebutnya

   
   

   5x−20x−5−35x−20x−5−35x−20x−5−3(x−5)x−55x−20−3x+15x−52x−5x−5≤3−3≤0≤0≤0≤0$\begin{array}{rl}\frac{5x-20}{x-5}-3& \le 3-3\\ \frac{5x-20}{x-5}-3& \le 0\\ \frac{5x-20}{x-5}-\frac{3(x-5)}{x-5}& \le 0\\ \frac{5x-20-3x+15}{x-5}& \le 0\\ \frac{2x-5}{x-5}& \le 0\end{array}$

   
   

   Langkah kedua, kita tentukan titik kritis, yaitu pembuat nol pada pembilang dan penyebut.

   
   

   Pembuat nol pada pembilang adalah 2x−5=0⇔x=52${\displaystyle 2x-5=0\iff x=\frac{5}{2}}$

   Pembuat nol pada penyebut adalah x−5=0⇔x=5${\displaystyle x-5=0\iff x=5}$

   
   

   Langkah ketiga, kita buat garis bilangan yang memuat beberapa daerah yang dibatasi oleh titik kritis yang kita peroleh dari langkah kedua, dan perlu diingat pada titik kritis yang diperoleh dari penyebut digambarkan dengan tanda bulatan kosong meskipun pertidaksamaan yang sedang kita selesaikan ≤$\le$.

   
   

   

   
   

   Langkah keempat, tentukan tanda masing-masing daerah pada garis bilangan dengan melakukan pengujian.

   
   

   Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah, yaitu x≤52$x\le \frac{5}{2}$ kita sebut saja "daerah kiri",  daerah 52≤x<5$\frac{5}{2}\le x<5$ kita sebut sebagai "daerah tengah" dan daerah x>5$x>5$ kita sebut sebagai "daerah kanan".

   
   

   Pada masing-masing daerah tersebut kita ambil sembarang angka penguji, misal untuk daerah kiri (x≤52)$(x\le \frac{5}{2})$ saya ambil x=0$x=0$, untuk daerah tengah (52≤x<5)$(\frac{5}{2}\le x<5)$ saya ambil x=3$x=3$, dan untuk daerah kanan (x>5)$(x>5)$ saya ambil x=6$x=6$ sebagai penguji. Dengan mensubstitusi titik-titik penguji tersebut ke fungsi rasional 2x−5x−5${\displaystyle \frac{2x-5}{x-5}}$ maka kita peroleh:

   Titik Uji	2x−5$2x-5$	x−5$x-5$	2x−5x−5${\displaystyle \frac{2x-5}{x-5}}$
   x=0$x=0$	(−)$(-)$	(−)$(-)$	(−)(−)=(+)$\frac{(-)}{(-)}=(+)$
   x=3$x=3$	(+)$(+)$	(−)$(-)$	(+)(−)=(−)$\frac{(+)}{(-)}=(-)$
   x=6$x=6$	(+)$(+)$	(+)$(+)$	(+)(+)=(+)$\frac{(+)}{(+)}=(+)$

   
   

   Baca juga : Cara mudah menentukan tanda +$+$ dan −$-$ garis bilangan tanpa titik uji
   
   kita peroleh
   
   
   

   

   
   

   Langkah kelima, kita tentukan himpunan penyelesaian dengan kembali memperhatikan tanda pertidaksamaan dan tanda pada garis bilangan.
   
   Pertidaksamaan 2x−5x−5≤0${\displaystyle \frac{2x-5}{x-5}\le 0}$ memiliki tanda pertidaksamaan ≤$\le$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau atau nol (≤0)$(\le 0)$, yaitu daerah tengah pada garis bilangan tadi.
   
   
   

   

   maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x−20x−5≤3${\displaystyle \frac{5x-20}{x-5}\le 3}$ adalah {x|

   52≤x<5,x∈R} 
8. DAFTAR PUSTAKA
9. DAFTAR PUSTAKA
   https://id.wikihow.com/Menyelesaikan-Persamaan-Rasional#:~:text=Persamaan%20rasional%20adalah%20pecahan%20dengan,melibatkan%20setidaknya%20satu%20persamaan%20rasional
10. https://www.m4th-lab.net/2018/09/cara-menyelesaikan-pertidaksamaan.html#:~:text=Pertidaksamaan%20rasional%20adalah%20pertidaksamaan%20yang,ini%20beberapa%20contoh%20pertidaksamaan%20rasional.&text=Dengan%20f(x)%20sebagai%20fungsi,g(x)%E2%89%A00.