Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Linear

Nama          : Nabila Nurul Alifah

Kelas          : X MIPA 1

Absen         : 18

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat-Linear 

➙ Sebuah bentuk pertidaksamaan dari persamaan linear, lalu dibuat pertidaksamaan yang               memiliki bentuk umum. 

Langkah-langkah penyelesaian 

1. Gambar grafik y = ax + b                                                                                                                              Cari minimal 2 titik

2. Tentukan sifat daerah dengan titik uji diluar garis

3. Arsir daerah yg diminta

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linier y ≤ –2x + 6, dengan x dan y anggota real.
Jawab

Apabila daerah penyelesaian pertidaksamaan linier diketahui dan garis batasnya melalui dua titik tertentu, maka pertidaksamaan liniernya dapat ditentukan.
Jika kedua titik yang diketahui berada pada sumbu-X dan sumbu-Y, maka persamaan liniernya ditentukan dengan rumus:

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut:

Sedangkan pertidaksamaan kuadrat dua variabel (x dan y) merupakan suatu pertidaksamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertinggi dua
Secara umum bentuk fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dan grafiknya berbentuk parabola. Untuk menggambar grafiknya, diperlukan langkah-langkah tersendiri, yakni :
(1) Menentukan titik potong dengan sumbu x , syaratnya y = 0
(2) Menentukan titik potong dengan sumbu y, syaratnya x = 0
(3) Menentukan titik maksimum/minimum fungsi, yaitu

(4) Menggambar grafik fungsi

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

04. Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat y > x2 – 8x + 12
Jawab

(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0
x2 – 8x + 12 = 0
(x – 6)(x – 2) = 0
x = 6 dan x = 2 Titik potongnya (2, 0) dan (6, 0)

(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0
y = x2 – 8x + 12
y = (0)2 – 8(0) + 12
y = 12 Titik potongnya (0, 12)

(3) Menentukan titik minimum fungsi y = x2 – 8x + 12

(4) Gambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)


Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu
a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)(x – x2)
b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)2 + q
Aturan ini dipakai untuk menyusun pertidaksamaan kuadrat jika diketahui gambar daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

Pada sistem pertidaksamaan linier dan kuadrat, kedua pertidaksamaan tersebut (linier dan kuadrat) dipadukan dalam satu sistem koordinat Cartesius. Sehingga daerah penyelesaiannya adalah irisan dari daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat.

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
08. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8 dalam tata koordinat Cartesius,

Jawab
Pertama akan digambar daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 12

Selanjutnya digambar juga daerah penyelesaian y ≤ –x2 + 2x + 8, dengan langkah langkah :
Menentukan tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0
–x2 + 2x + 8 = 0
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x = –2 dan x = 4 . Titik potongnya (–2 0) dan (4, 0)

Menentukan tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0
y = –x2 + 2x + 8
y = –(0)2 + 2(0) + 8
y = 8 . Titik potongnya (0, 8)

Menentukan titik maksimum fungsi y = –x2 + 2x + 8

Menggambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

Irisan dari kedua daerah penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8
Gambar daerahnya adalah sebagai berikut:

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

y = x2 – 1

x – y = 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x2 – x – 2

Penyelesaian:

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2  ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

3. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini, kemudian buatlah grafik penyelesaiannya (sketsa tafsiran geometri).

a. y = x – 1 dan y = x2 – 3x + 2

b. y = x – 3 dan y = x2 – x – 2

c. y = −2x + 1 dan y = x2 – 4x + 3

Jawab:

a. Subtitusikan bagian linear y = x – 1 ke bagian kuadrat y = x2 – 3x + 2, sehingga diperoleh:

⇒ x – 1 = x2 – 3x + 2

⇒ x2 – 3x – x + 2 + 1 = 0

⇒ x2 – 4x + 3 = 0

⇒ (x – 1)(x – 3) = 0

⇒ x = 1 atau x = 3

Nilai x = 1 atau x = 3 disubtitusikan ke persamaan y = x – 1.

Untuk x = 1 diperoleh y = 1 – 1 = 0 → (1, 0)

Untuk x = 3 diperoleh y = 3 – 1 = 2 → (3, 2)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,0), (3,2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 1 memotong parabola y = x2 – 3x + 2 di dua titik yang berlainan yaitu di (1, 0) dan di (3, 2). Perhatikan gambar di bawah ini.

b. Subtitusikan y = x – 3 ke y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ x – 3 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x – x – 2 + 3 = 0

⇒ x2 – 2x + 1 = 0

⇒ (x – 1)2 = 0

⇒ x = 1

Nilai x = 1 disubtitusikan ke persamaan y = x – 3 sehingga didapatkan

⇒ y = 1 – 3 = −2 → (1, −2)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, −2)}. Tafsiran geometrinya, garis y = x – 3 menyinggung parabola y = x2 – x – 2 di titik (1, −2). Perhatikan gambar di bawah ini.

c. Subtitusikan y = −2x + 1 ke  y = x2 – 4x + 3, diperoleh

⇒ −2x + 1 = x2 – 4x + 3

⇒ x2 – 4x + 2x + 3 – 1 = 0

⇒ x2 – 2x + 2 = 0

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real, karena D = (−2)2 – 4(1)(2) = −4 < 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, ditulis ∅. Tafsiran geometrinya, garis y = −2x + 1 tidak memotong maupun menyinggung parabola y = x2 – 4x + 3. Perhatikan gambar berikut.

4. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

x + y – 1 = 0 ……….bagian linear

x2 + y2 – 25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

Jawab:

Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ y = 1 – x

Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:

⇒ x2 + y2 – 25 = 0

⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0

⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0

⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0

⇒ x2 – x – 12 = 0

⇒ (x + 3)(x – 4) = 0

⇒ x = −3 atau x = 4

Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.

● untuk x = −3 diperoleh:

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ −3 + y – 1 = 0

⇒ y – 4 = 0

⇒ y = 4

Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).

● untuk x = 4 diperoleh:

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ 4 + y – 1 = 0

⇒ y + 3  = −3

⇒ y = 4

Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan lingkaran x2 + y2 = 25. Perhatikan gambar berikut ini.

Soal No. 1
Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut:

(i) y = 2x + 3

(ii) y = x² − 4x + 8

Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas!

Pembahasan
Substitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar.
x² − 4x + 8 = 2x + 3
x² − 4x + 8 − 2x − 3 = 0
x² − 6x + 5 = 0

Berikutnya faktorkan:
x² − 6x + 5 = 0
(x − 1)(x − 5) = 0

Dapatkan nilai x yang pertama:
x − 1 = 0
x = 1

Dapatkan nilai x yang kedua:
x − 5 = 0
x = 5

Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i):
Untuk x = 1 maka
y = 2x + 3
y = 2(1) + 3
y = 2 + 3
y = 5

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)

Untuk x = 5 maka
y = 2x + 3
y = 2(5) + 3
y = 10 + 3
y = 13

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)

Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}

DAFTAR PUSTAKA

https://www.youtube.com/watch?v=B0VTRMkL5fw

https://www.ruangguru.com/blog/pengertian-dan-cara-penyelesaian-pertidaksamaan-bagian-1

https://www.materimatematika.com/2017/11/sistem-pertidaksamaan-linier-dan-kuadrat.html

https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/06/kumpulan-contoh-soal-dan-jawaban-splk.html

https://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/83-sistem-persamaan-linear-kuadrat-splk-10-sma